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考研数学：不等式证明的7种方法

2019-12-02　

1. 拉格朗日中值定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数（值）的不等式；

2. 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数（值）或低阶导函数（值）的不等式；

3. 应用函数的单调性定理证明：（1）对于证明数的大小比较的不等式，转化为同一函数在区间两端点函数（或极限）值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明；（2）对于证明函数大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间内的任意一点函数值与区间端点函数（或极限）值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明；

4. 利用函数最大值、最小值证明不等式。把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点x出的函数值大小的比较，然后证明（fx）为最大值或最小值，即可证不等式成立；

5. 利用函数取到唯一的极值证明不等式。把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间内某点x处的函数值大小的比较，然后证明（fx）为唯一的极值且为极大值或极小值，即（fx）为最大值或最小值，即可证不等式成立；

6. 用柯西中值定理证明不等式；

7. 利用曲线的凹凸性证明不等式。


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