2021考研数学之高等数学重难点深度分析

2020-12-21 10:15:02

  2020考研初试已结束,再次迎接它的已是2021考研学子,目前2021考研备考正处于前期的基础知识积累阶段,在考研的各门科目中,数学考试综合性强、知识覆盖面广、难度大,许多同学因为畏惧数学,而选择报考不考数学的专业甚至放弃考研,其实考研数学也没那么可怕,只要同学们找准方法,重视基础,把握好重难点,也能轻松搞定。从2009年至今,考研数学大纲没有发生本质性的变动,这对于广大考生是一个有利的好消息,据此我们可以非常清晰地把握考试方向和考查重难点。通过对大纲和历年真题的分析,下面给出高等数学中每年考查的重难点:

  一、函数、极限、连续部分:1、极限存在的准则(夹逼准则和单调有界准则);2、7种未定式极限;3、无穷小的比较问题;4、间断点类型的判断;5、渐近线,这些知识点在历年真题中出现的概率比较高,属于重点内容,其中极限的计算可以说是这部分的重中之重,极限这部分每年考10分左右,而这10分基本上全部考的计算,所以对于计算极限的几种方法大家一定要掌握,特别是等价无穷小替换、洛必达法则和泰勒公式,而泰勒公式可以说是求极限问题的万能公式,大家一定要熟练掌握。总的来说这部分内容是重点,但是很基础,不是难点,因此极限部分一定不要丢分。

  二、微分学部分:主要包括一元函数微分学、多元函数微分学,其中一元函数微分学是基础也是重点。

  一元函数微分学:1、导数的定义;2、复合函数、隐函数和参数方程(数一、数二)的求导;3、微分中值定理;4、导数的应用(单调性、极值、凹凸性、拐点),这几部分都非常重要,前两部分主要是基础知识点,重要但难度不高;后面两部分是重点同时也是难点,微分中值定理可以出各种各样构造辅助函数的证明,包括等式和不等式的证明,近两年连续在微分中值定理均有考查证明题;导数的应用也是一个重点内容,近几年在考研中常出现,分值也不低,其中大家要特别关注的是求切线和法线、函数单调性问题(尤其是不等式的证明和讨论方程的根)、函数极值、最值的求法、拐点和凹凸性的判定,数一和数二的同学这部分还需要记住曲率和曲半径的计算公式,数三的同学需要掌握导数在经济中的应用;从历年真题中可以归纳出这一部分涉及的主要是计算和证明,尤其证明题比较灵活,技巧性高,是大家惧怕的一个题型,考生应勤加练习。

  多元函数微分学:1、多元函数的连续性、偏导存在以及可微三者之间的关系;2、复合函数和隐函数求偏导,特别是抽象函数的偏导;3、多元函数的极值、最值问题;这三部分是多元函数微分学的重点,这一部分在考研中主要考查计算,虽说并不是难点,但计算量偏大,这就需要同学们在日常的练习中,提高计算速度和准确性,其中数一的同学还需了解方向导数、梯度、空间曲线、曲面的切平面和法线,这些知识点不是重点,记住相关公式即可。

  三、积分学部分:主要包括一元函数积分学和多元函数积分学。

  一元函数积分学:1、不定积分、定积分和反常积分的计算;2、变上限积分的相关问题;3、利用定积分求面积和旋转体的体积;其中计算部分对于有些同学可能不难,但对于刚接触的同学想要用简单的方法解答还是需要多花点时间学习的,在计算过程中,会用到积分的性质、换元法和分部积分法,需要同学们重点掌握,而变上限积分的相关问题近几年频繁出现在真题中,主要掌握变上限积分变化式的求导,对于定积分的几何应用一直是考研数学的重点,大家不仅要记住公式,还得灵活使用相关公式,而物理应用(功、水压力、引力等)是数一数二需要掌握的内容,在真题出现的频率较低,了解一些物理背景以及掌握一些常规题即可。

  多元函数积分学:这一部分对于数一、数二以及数三的要求相差较大,二重积分的计算是共同的一个重点,尤其是数二和数三,几乎每年一个10分大题,主要掌握二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、交换积分次序、分段函数的二重积分;而三重积分、曲线和曲面积分属于数一考生单独考查内容,主要掌握三重积分的计算、格林公式和高斯公式以及曲线积分与路径无关的条件,这一部分对数一同学即是重点也是难点,每年在真题中所含分值非常高,数一考生一定要加强这部分的学习与练习,除了这部分,数一考生还要求旋度、散度、质心等内容,但均不是重点,记住公式会用即可。

  四、向量代数与空间解析几何部分:这部分内容只对数一的考生要求,不是重点,了解即可。

  五、无穷级数部分:这部分内容对数二的考生不做要求,但对数一和数三是重点,一个重点是数项级数敛散性的判别,需要掌握无穷级数的性质以及常用的判别法;二是幂级数,考生需熟练掌握幂级数的收敛区间、收敛半径、和函数以及幂级数展开问题;对于傅里叶级数只对数一有要求,是一个低频考点,考生会做即可。

  六、微分方程与差分方程部分:这部分有两个重点:一是一阶线性微分方程,二是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程,主要掌握解的性质和结构以及方程的求解。差分方程只对数三考生有要求,不是重点也不是难点。

  以上为高等数学的重难点分析,同学们可以进行参考,认真复习,全力备考!